door Jacques Collin
In zijn boek ” The Intelligent Investor” stelt B. Graham (1894-1976) volgende formule voor om de intrinsieke waarde P van een groeibedrijf te evalueren:
P = verwachte WPA * (8,5 + 2*G) (1)
Om rekening te houden met de sinds 1972 veranderde beursgegevens, paste hij later zijn formule als volgt aan:
P = verwachte WPA * (8,5 + 2*G) * 4,4 / rendement AAA-obligaties. (2)
Waarin:
Steunende op historische rendementen, stelde Graham aanvankelijk dus dat een aandeel met een nul-groei (G=0) een jaarlijks winstrendement (W/K) zou moeten hebben van 11.76% en verhandeld zou moeten worden aan een K/W van minstens 8,5 (1/0.085 = 11.76). Hieruit volgt ook dat Graham een risicopremie van 11,76% – 4,4% = 7,36% incalculeerde.
De laatste term van de formule werd later ingevoerd als multiplicator om rekening te houden met de na 1972 veranderende AAA-obligatieopbrengst boven of onder de 4,4%.
Er zijn sinds het laatst opstellen en zelfs aanpassen van de formule nog wel andere veranderingen ingetreden. Zo lijkt een risicopremie van 7,36 actueel te hoog gegrepen en is gezakt tot om en bij de 2.75%, terwijl het tegenwoordige tienjarig gemiddelde rendement van de AAA-obligaties om en bij de 5.25% bedraagt. Indien het zo is dat daarom thans slechts 2,75 + 5,25 = 8 % rendement wordt gevraagd voor zerogroei-aandelen in plaats van 11.76%, wordt de 8,5 uit de vergelijking nu 12.5 [1/(0.08)].
De vergelijking wordt dus:
P = verwachte WPA * (12.5 + 2*G) * 4,4 /5,25. (3)
Buiten het feit dat men aandelen moet kopen die minstens 33% ondergewaardeerd zijn ten opzichte van de op deze wijze berekende intrinsieke waarde, verbindt B. Graham er nog een viertal voorwaarden aan. We sommen ze even op:
Buiten de hierboven vermelde Graham-formule, zullen we vaststellen dat we, om via de meeste andere modellen de IW te berekenen, steeds de som dienen te maken van een eindig of oneindig aantal termen. Als het eindige aantal niet te groot is, kan dit manueel gebeuren, maar anders nemen we best onze toevlucht tot een wiskundige formule.
Deze is gemakkelijk te bekomen omdat, in ons geval, zal blijken dat de achtereenvolgende termen een gemeenschappelijke eigenschap hebben, namelijk dat het quotient van elke twee opeenvolgende termen t n en t n+1 een constante q is.
Met andere woorden:
t 2 = t 1*q ; t3 = t 2*q = t 1*q 2; t 4 = t 3*q = t 1*q3 ; t n+1 = t n*q = t 1*q n…
In wiskundige termen heet dit een meetkundige rij met reden q.
Is de reeks eindig, dus afgebroken, dan wordt de som van de eerste n termen gevonden als volgt:
Stelt men
Sn = t 1 + t 2 + t 3 + … + t n-1 + t n (4)
Dan is
Sn*q = t 1*q + t 2*q +… + t n-2 * q + tn-1*q + t n*q
Of
Sn*q= t 2 + t 3 +… + t n-1 + t n +t n *q (5)
(5) – (4) geeft = S n*q – S n = t n*q – t 1 of S n*(q-1) = t n*q -t 1
Waaruit, mits q ? 1 : S n =( t n*q – t 1 )/(q-1) (6)
-Is de reeks oneindig, en q<1, wat in ons geval noodzakelijk is, dan schrijven we (6) eerst als volgt:
S n = ( t 1 – t n+1 ) /(1-q) = t 1/(1-q) – t n+1 /(1-q)
Vermits q<1, nadert t n+1 tot 0 als n groter wordt, en dus ook t n+1 / (1-q).
M. A.w., voor n ?? is
lim S n = t 1/( 1-q) (7)
We zullen vaststellen dat we met behulp van beide formules (6) en (7) nu in het geval van de meerstappen modellen, gemakkelijker de intrinsieke waarde zullen kunnen berekenen,
In het “klein beetje algebra” hebben we verschillende symbolen gebruikt, nl S n, t n en q. Wat stellen die nu voor in de berekening van de intrinsieke waarde van een aandeel?
De termen t 1, t 2,…t n… staan voor de jaarlijkse waarden van het gekozen element voor de berekening, nl. het dividend, de WPA of de vrije cashflow (FCF) per aandeel. Elk jaar vermeerdert t met de aangenomen vaste groeivoet g % of, anders gezegd, t wordt jaarlijks vermenigvuldigd met (1+g).
Maar jaarlijks ook moet die waarde geactualiseerd worden en, indien de vaste discontovoet r % bedraagt, wil dit zeggen dat we t jaarlijks moeten verminderen met r %, d.w.z. Delen door (1+r).
Met andere woorden: q = (1+g)/(1+r). Waaruit ook blijkt dat, gezien q<1 moet zijn, r>g moet zijn.
Indien we de huidige FCF0 per aandeel als berekeningsbasis nemen, dan kan een reeks dus worden geschreven als volgt:
S n = FCF0 *(1+g)/(1+r) + FCF0 *(1+g) 2/(1+r) 2 + FCF0 *(1+g) 3/(1+r) 3 + …+FCF0*(1+g) n/(1+r) n…
= FCF0*q + FCF0*q 2 + FCF0*q 3 + …+ FCF0*q n +… (8)
En uiteraard is de som S n gelijk aan de gezochte intrinsieke waarde IW.
In dit model wordt voor FCF per aandeel (Div, WPA) tot in het oneindige een nul-groei verondersteld. Dit wil zeggen:
FCF0 = FCF jaar 1 = FCF 1= FCF jaar 2 = FCF 2 = FCF jaar 3 =FCF 3 …= FCF jaar n = FCF n…
Vermits alle FCF’s constant blijven en g dus gelijk is aan 0, is en blijft (1+g) gelijk aan 1. De actuele waarde van een nul-groeiaandeel, steeds verdisconteerd aan r %, is bijgevolg gelijk aan de huidige waarde van een oneindig doorlopende reeks met q =1/ (1+r) :
Volgens (7) is dan ook lim S n = FCF 1 / (1+r) 1 + FCF 2 / (1+r) 2 + FCF 3 / (1+r) 3 +…..
= FCF/(1+r) ? [1-1/(1+r)] = FCF/(1+r) ? [ r/(1+r)] =
IW = FCF / r (9)
In dit model wordt voor FCF tot in het oneindige een constante groei verondersteld. Dit wil zeggen:
Vermits de toekomstige FCF’s voor altijd met een constante waarde van g % groeien en ook de discontovoet gelijk blijft aan r %, is q = (1+g)/(1+r), kan de actuele waarde worden bekomen via formule (7):
Gewoonlijk gebruikt men in deze methode de grootte van de inflatie als groeivoet,(nu om en bij de 2.5% dus), maar dat percentage moet wel aangepast aan de kenmerken van de beschouwde onderneming. Er bestaat immers geen groeivoet die zonder meer op alle bedrijven kan worden toegepast.
Nochtans is het hier oppassen geblazen aangezien ipso facto wordt verondersteld dat, naarmate g tot r nadert, het bedrijf oneindig groot zal worden, en dat is toch wat hoog gegrepen!
Voor deze beide modellen is de berekening dus eenvoudig.
Maar nog gemakkelijker is de DCF calculator te gebruiken op site http://www. Creativeacademics. Com/finance/dcf. Html waar men ook verdere uitleg vindt.
